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南京家教:番禺区高三年级第一学期期中考试 数学(理科)


来源:南京家教中心 日期:2018/9/13
本试卷共4 页,150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷
上作答无效。考试结束后,将答题纸交回。
第一部分(选择题,共40 分)
一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项。
(1)若集合 A  { x | x  2  0}, { | 1}
x
B  x e  ,则A B  ( )
(A)R (B) (  , 2 )
(C)(0 , 2 ) (D)( 2 ,  )
(2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,  ) 上单调递增的是 ( )
(A) f ( x )  ln | x | (B) ( ) 2
x
f x
(C) 3
f ( x )  x (D) 2
f ( x )   x
(3)已知向量a  (1, 0 ),b  ( 1,1) ,则 ( )
(A) a / / b (B) a  b
(C)(a  b ) / / b (D)(a  b )  a
(4)已知数列{ } n a 满足
1 2 2 2 ( 1, 2, 3, ...) n a  a      a  a n  ,则 ( )
(A) 1 a  0 (B)
1 a  0
(C) 1 2 a  a (D)
2 a  0
(5)将s in ( 2 )
6
y x
  的图象向左平移
6
个单位,则所得图象的函数解析式为( )
(A) y  s in 2 x (B) y  c o s 2 x
(C) s in ( 2 )
3
y x
  (D) s in ( 2 )
6
y x
 
(6)设  R ,则“ 是第一象限角”是“s in   c o s  1”的 ( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
 
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)设  s in s in
e e
x x
f x
  ( x  R ),则下列说法不正确的是 ( )
(A) f  x  为R 上偶函数 (B) 为 f  x  的一个周期
(C) 为 f  x  的一个极小值点 (D) f  x  在区间( 0 , )
2
上单调递减
(8)已知非空集合A, B 满足以下两个条件:
(ⅰ) A B  1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , A B   ;
(ⅱ) A 的元素个数不是A 中的元素, B 的元素个数不是B 中的元素,
则有序集合对 A , B  的个数为 ( )
(A)1 0 (B)1 2 (C)1 4 (D)1 6
第二部分(非选择题,共110 分)
二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分。
(9) 定积分
1
3
1
x d x
  的值等于 .
(10)设在海拔x (单位:m)处的大气压强y (单位:kPa), y 与x 的函数关系可近似
表示为1 0 0 e
a x
y  ,已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa,则根据函数关系式,在海
拔2000 m 处的大气压强为 kPa.
(11)能够说明“设x 是实数.若 x  1 ,则
1
3
1
x
x
 
”是假命题的一个实数x 的值
为 .
(12)已知 A B C 是边长为 2 的正三角形,O ,D 分别为边A B ,B C 的中点,则
① A D  A C  ;
② 若O C  x A B  y A D ,则x  y  .
(13)已知函数
1
( )
s in ( )
f x
 x 
(其中  0 ,
2
  )的部分
图象如图所示,则  ,  .
 
(14)已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数,
当x  0 时, 2
f ( x )  x  a x  a ,其中a  R .
① f ( 1)  ;
② 若 f ( x ) 的值域是R ,则a 的取值范围是 .
三、解答题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
(15)(本小题13 分)
已知函数( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
   .
(Ⅰ)求( )
4
f
的值;
(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0 , ]
2
上的最大值和最小值.
(16)(本小题13 分)
已知{ } n a 是等比数列,满足
2 a = 6 ,
3 a = - 1 8,数列{ } n b 满足
1 b  2 ,且{2 } n n b  a
是公差为2 的等差数列.
(Ⅰ)求数列{ } n a 和{ } n b 的通项公式;
(Ⅱ)求数列{ } n b 的前n 项和.
(17)(本小题13 分)
已知函数( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
    ,其中a  0 .
(Ⅰ)当a  2 时,求曲线 y  f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程;
(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[1, e ]上的最小值.(其中e 是自然对数的底数)
(18)(本小题13 分)
如图,在四边形A C B D 中,
1
c o s
7
 C A D   ,且 A B C 为正三角形.
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(Ⅰ)求c o s  B A D 的值;
(Ⅱ)若C D  4 ,BD  3 ,求 A B 和A D 的长.
(19)(本小题14 分)
已知函数( ) 2 e s in
x
f x  x (0  x   ),g(x) (x nl)1 x m (m  R )
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ)求证:1是g ( x ) 的唯一极小值点;
(Ⅲ)若存在a ,b  (0 ,  ) ,满足 f ( a )  g (b ) ,求m 的取值范围.(只需写出结论)
(20)(本小题14 分)
若数列A :
1 a ,
2 a ,…,
n a (n  3 )中 *
i a  N (1  i  n )且对任意的2  k  n  1
1 1 2 k k k a a a     恒成立,则称数列A 为“U  数列”.
(Ⅰ)若数列1 , x , y , 7 为“U  数列”,写出所有可能的x , y ;
(Ⅱ)若“U  数列” A :
1 a ,
2 a ,…,
n a 中,
1 a  1, 2 0 1 7 n a  ,求n 的最大值;
(Ⅲ)设
0 n 为给定的偶数,对所有可能的“U  数列” A :
1 a ,
2 a ,…,
0 n a ,
0 1 2 m ax { , , . . . , } n M  a a a ,其中
1 2 m ax { , , ..., } s x x x 表示
1 x ,
2 x ,…,
s x 这s 个数中最大
的数,求M 的最小值.
 
海淀区高三年级第一学期期中考试参考答案 2017.11
数 学(理科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.
Z*xx*k.Com]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C A D D B C D[来 A
二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分.(有两空的小题第一空3 分)
9. 0 10.81 11.2 12.(1) 3 (2)
1
2
13. 2 ,
3
 14.(1) 1 (2)( , 0 ] [ 4 ,  )
三、解答题: 本大题共6 小题,共80 分.
15.(本题13 分)
解:(Ⅰ)因为 ( ) 2 2 co s s in 1
4 4 2
f
  
  …1 分
2
2 2 1 1
2
    ……………………2 分
 1 ……………………3分
(Ⅱ) ( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
  
2 2
2 2 co s ( s in + co s ) 1
2 2
 x  x x  ……………………4分
2
 2 s in x co s x  2 co s x  1
 
 s in 2 x  co s 2 x ……………………8 分
(一个公式2 分)
2 s in ( 2 )
4
x
  …………10 分
因为0
2
x
  , 所以
5
2
4 4 4
x
  
   ……11 分
所以
2
s i n 2 1
2 4
x
  
     
 
故 1 2 s in 2 2
4
x
  
     
 
当2 ,
4 2
x
 
  即
8
x
 时, f ( x ) 有最大值 2
5
2 ,
4 4
x
 
  即
2
x
 时, f ( x ) 有最小值 1 …13分
(函数最大值和最小值结果正确1 分,写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1 分)
16.(本题13 分)
解:(Ⅰ)设数列{ } n a 的公比为q ,则
2 1
2
3 1
6
18
a a q
a a q
  
   
……………………2 分
解得
1 a   2 ,q   3 ……3 分
所以, 1
2 ( 3)
n
n a
    ……5 分
令2 n n n c  b  a ,则
1 1 1 c  2b  a  2
2 ( 1) 2 2 n c   n    n ……………………7 分
1
( 3)
2
n n n
n
c a
b n
 
    ……………………9 分
(Ⅱ)
( 1) 1 ( 3)
2 4
n
n
n n
S
  
  ……13 分
(分组求和,每组求对给2 分)
17.(本题13 分)
 
解:(Ⅰ)当a  2 时,
2
f ( x ) x 3 ln x
x
  
2
( 1) ( 2 )
'( )
x x
f x
x
 
 ,……1 分
此时, f (1)   1, f '(1)  0 , ……2 分
故曲线 y  f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y   1. ………3分
(Ⅱ) ( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
    的定义域为(0 ,  ) ……4分
2 2
1 ( 1) ( )
'( ) 1
a a x x a
f x
x x x
  
    ……………………5 分
令 f '( x )  0 得,x  a 或x  1 ……6 分
① 当0  a  1时,
对任意的1  x  e , f '( x )  0 , f ( x ) 在[1, e ] 上单调递增 ……7分
f ( x )  f (1)  1  a 最小 …………8 分
② 当1  a  e 时
x (1, a ) a ( a , e )
f '( x )  0 
f ( x ) ↘ 极小 ↗
…………10 分
f ( x )  f ( a )  a  1  ( a  1)  ln a 最小
…………11 分
② 当a  e 时,
对任意的1  x  e , f '( x )  0 , f ( x ) 在[1, e ] 上单调递减 ……12 分
( ) ( ) ( 1)
a
f x  f e  e  a  
e
最小 …………………… 13 分
由①、②、③可知,
1 , 0 1
( ) 1 ( 1) ln , 1
( 1) ,
a a
g a a a a a
a
a a
   
       
    
e
e e
e
18.(本题13 分)
解:(Ⅰ)因为
1
c o s
7
 C A D   , C A D  (0 ,  )
 
所以
4 3
s in
7
 C A D 
…………………… 2 分 (没写角取值范围的扣1 分 )
所以 c o s  B A D
c o s ( )
3
C A D
  
c o s c o s s in s in
3 3
C A D C A D
 
    ……………………4 分
1 1 4 3 3
7 2 7 2
    
1 1
1 4
 …………………… 6 分
(Ⅱ)设 A B  A C  B C  x , A D  y ,在 A C D 和 A B D 中由余弦定理得
2 2 2
2 2 2
2 c o s
2 c o s
A C A D A C A D C A D C D
A B A D A B A D B A D B D
     
     
…………………10 分
(每个公式给2 分)[,k.Com]
代入得
2 2
2 2
2
1 6
7
1 1
3
7
x y x y
x y x y
  

   

解得
7
7
x
y
 
 
7
7
x
y
  
  
(舍)
即 A B  7 , AD  7 ……13分
19.(本题14 分)
解:(Ⅰ) 因为'( ) 2 ( s in co s )
x x
f x  e x  e x ……2分
2 s in ( )
4
x
x
 e 
 
令 f '( x )  0 ,得s in ( ) 0
4
x
  [源:Zxxk.Co
因为0  x   ,所以
3
4
x   ……3 分
当x 变化时, f '( x ) , f ( x ) 的变化情况如下:
x
3
(0 , )
4
3
4
3
( , )
4
 
f '( x )  0 
f ( x ) 极大值
…………………… 5 分
故 f ( x ) 的单调递增区间为
3
(0 , )
4
, f ( x ) 的单调递减区间为
3
( , )
4
……6 分
(Ⅱ)证明: g ( x )  ( x  1) ln x  m
1
g '( x ) ln x 1
x
    (x  0 ), ……7 分
1
h ( x ) g '( x ) ln x 1
x
    ,则 '
2
1 1
h ( x ) 0
x x
  
故g '( x ) 在(0 ,  )是单调递增函数, ……8 分
又 g '(1)  0 ,故方程g '( x )  0 只有唯一实根x  1 ……10分
当x 变化时,g '( x ) ,g ( x ) 的变化情况如下:
x (0 ,1) 1 (1,  )
g '( x )  0 
g ( x ) 极小值
…………12 分
故g ( x ) 在x  1 时取得极小值g (1)  m ,即1是g ( x ) 的唯一极小值点.
(Ⅲ)
3
4 m
 e ……14 分
20.(本题14 分)
解:(Ⅰ)
1
2
x
y
 
 
1
3
x
y
 
 
2
4
x
y
 
 
……3 分
 
(Ⅱ) n 的最大值为6 5 ,理由如下 ……4 分
一方面,注意到:
1 1 1 1 2 k k k k k k k a a a a a a a          
对任意的1  i  n  1 ,令
i i 1 i b a a    ,则
i b  Z 且
k k 1 b b  (2  k  n  1),
1 1 k k b b   对任意的2  k  n  1恒成立.
(★)
1 a  1, 2 0 1 7 n a  时,注意到
1 2 1 b  a  a  1  1  0 ,得
1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 i i i i i b b b b b b b b i                 (2  i  n  1)
此时
1 1 2 1
1
0 1 2 2 ( 1) ( 2 )
2
n n a a b b b n n n                     
1
( 1) ( 2 ) 2 0 1 7 1
2
n  n    ,解得: 6 2  n  6 5 ,故n  6 5 ……7分
另一方面,取1 i b  i  (1  i  6 4 ),则对任意的2  k  6 4 ,
k k 1 b b  ,故数
列{ } n a 为“U  数列”,此时
65 a  1  0  1  2      6 3  2 0 1 7 ,即n  6 5 符合题意.
综上, n 的最大值为65. …………9 分
(Ⅲ) M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n  n 
,证明如下: …………………… 10 分
0 n  2m (m  2 , *
m  N )时,
一方面:
由(★)式,
1 1 k k b b    ,
1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m                      .
此时有:
1 2 1
1 2 2 1 1 2 1
1 1 2 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 1)
m m m
m m m m
m m m m
a a a a
b b b b b b
b b b b b b
m m m
m m
   
   
  
             
         
      
 
 
2 2
1 2 1 0 0 ( 1) 2 2 8
2 2 2 8
m m m a a a a m m m m n n
M         
    ……13 分
另一方面,当
1 b  1  m ,
2 b  2  m ,…,
1 1 m b    , 0 m b  ,
1 1 m b   ,…,
2 1 1 m b m    时,
1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 0 k k k k k k k k k a a a a a a a b b               
取1 m a  ,则
1 1 m a   ,
1 2 3 m a  a  a      a ,
m 1 m 2 2 m
a a a  
      ,且
1 1 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m a a b b b m m            
2 1 1 2 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m m m m a a b b b m m               
此时
2
0 0
1 2
1 2 8
( 1) 1
2 8
m
n n
M a a m m
 
      .
综上, M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n  n 
……………14 分

编辑者:南京家教南京家教网)