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南京家教:高中数学必修综合检测题


来源:南京家教老师 日期:2018/5/12
 
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求)
1.已知角α的终边经过点P(-3,4),则sin α的值等于(  )                 
A.-35  B.35
C.45  D.-45
2.已知cosπ2+φ=-32且|φ|<π2,则tan φ=(  )
A.-33  B.33
C.-3  D.3
3.已知cos α=35,0<α<π,则tanα+π4=(  )
A.15  B.17
C.-1  D.-7
4.要得到函数y=cos(2x+1)的图像,只要将函数y=cos 2x的图像(  )
A.向左平移1个单位
B.向右平移1个单位
C.向左平移12个单位
D.向右平移12个单位
5.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则k的取值范围是(  )
A.(-2,+∞)  B.-2,12∪12,+∞
C.(-∞,-2)  D.(-2,2)
 7.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,且ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示,则(  )
 
A.ω=π2,φ=π4
B.ω=π3,φ=π6
C.ω=π4,φ=π4
D.ω=π4,φ=5π4
8.若α∈π2,π,且sin α=45,则sinα+π4-22cos(π-α)等于(  )
A.225  B.-25
C.25  D.-225
 
10.如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动,则 的最大值是(  )
 
 
A.2
B.1+2
C.π
D.4
11.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(  )
A.f(x)在0,π2单调递减
B.f(x)在π4,3π4单调递减
C.f(x)在0,π2单调递增
D.f(x)在π4,3π4单调递增
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上)
13.已知cos x=2a-34-a,x是第二、三象限的角,则a的取值范围为________.
14.已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a•b=0,则实数k的值为________.
15.y=3- 2cos3x+π6的定义域为________.
16.有下列四个命题:
①若α,β均为第一象限角,且α>β,则sin α>sin β;
②若函数y=2cosax-π3的最小正周期是4π,则a=12;
③函数y=sin2x-sin xsin x-1是奇函数;
④函数y=sinx-π2在[0,π]上是增函数.
其中正确命题的序号为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)化简:sin(540°-x)tan(900°-x)•
1tan(450°-x)tan(810°-x)•cos(360°-x)sin(-x).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.(本小题满分12分)已知角α的终边过点P45,-35.
(1)求sin α的值;
(2)求式子sinπ2-αsinα+π•tan(α-π)cos(3π-α)的值.
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x+π6+sin2x-π6+2cos2x.
(1)求f(x)的最小值及最小正周期;
(2)求使f(x)=3的x的取值集合.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.(本小题满分12分)如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R(其中0≤φ≤π2)的图像与y轴交于点(0,1).
 
 (1)求φ的值;
(2)求函数y=2sin(πx+φ)的单调递增区间;
(3)求使y≥1的x的集合.
 
 
 
 
 
 
 
 
22.(本小题满分12分)已知M(1+cos 2x,1),N(1,3sin 2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且y=  (O为坐标原点).
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)若x∈0,π2时,f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图像可由y=2sinx+π6的图像经过怎样的变换而得到;
(3)函数y=g(x)的图像和函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,求y=g(x)的表达式,并比较g(1)和g(2)的大小.
 
 
 
 
 
答案
1.解析:选C sin α=4(-3)2+42=45.
2.解析:选D 由cosπ2+φ=-32得sin φ=32,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以tan φ=3.
3.解析:选D 因为cos α=35>0,0<α<π,所以0<α<π2,sin α>0,所以sin α=45,故tan α=43,所以tan(α+π4)=tan α+tan π41-tan α•tan π4=43+11-43=-7.
4.解析:选C y=cos 2x的图像向左平移12个单位后即变成y=cos 2x+12=cos(2x+1)的图像.
5.解析:选B 当a,b共线时,2k-1=0,k=12,此时a,b方向相同夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角,则有a•b>0且a,b不共线.由a•b=2+k>0得k>-2,且k≠12,即实数k的取值范围是-2,12∪12,+∞,选B.
6.
 
7.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,且ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示,则(  )
 
A.ω=π2,φ=π4
B.ω=π3,φ=π6
C.ω=π4,φ=π4
D.ω=π4,φ=5π4
解析:选C ∵T=4×2=8,∴ω=π4.
又∵π4×1+φ=π2,
∴φ=π4.
8.解析:选B sinα+π4-22cos(π-α)
=22sin α+22cos α+22cos α=22sin α+2cos α.
∵sin α=45,α∈π2,π,
∴cos α=-35.
∴22sin α+2cos α=22×45-2×35=-25.
9.
 
10.
 
11.解析:选A y=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π4),由最小正周期为π得ω=2,又由f(-x)=f(x)可知f(x)为偶函数,|φ|<π2可得φ=π4,
所以y=2cos 2x,在0,π2单调递减.
12.
 .
13.解析:-1<cos x<0,-1<2a-34-a<0,2a-34-a<0,2a-34-a>-1.
∴-1<a<32.
答案:-1,32
14.解析:由题意知:a•b=(e1-2e2)•(ke1+e2)=0,即ke21+e1e2-2ke1e2-2e22=0,即k+cos 2π3-2kcos 2π3-2=0,化简可求得k=54.
答案:54
15.解析:∵2cos3x+π6≥0,
∴2kπ-π2≤3x+π6≤2kπ+π2,
∴23kπ-2π9≤x≤23kπ+π9(k∈Z),
函数的定义域为{x|23kπ-29π≤x≤23kπ+π9,k∈Z}.
答案:{x|23kπ-29π≤x≤23kπ+π9,k∈Z}
16.解析:α=390°>30°=β,但sin α=sin β,所以①不正确;函数y=2cosax-π3的最小正周期为T=2π|a|=4π,所以|a|=12,a=±12,因此②不正确;③中函数定义域是x|x≠2kπ+π2,k∈Z,显然不关于原点对称,所以③不正确;由于函数y=sinx-π2=-sin(π2-x)=-cos x,它在(0,π)上单调递增,因此④正确.
答案:④
17.解:原式=sin(180°-x)tan(-x)•1tan(90°-x)tan(90°-x)•cos xsin(-x)=sin x-tan x•tan x•tan x•-1tan x=sin x.
18.解:(1)∵|OP|=452+-352=1,
∴点P在单位圆上,由正弦函数定义得sin α=-35.
(2)原式=cos α-sin α•tan α-cos α=sin αsin α•cos α=1cos α.
由(1)得sin α=-35,P在单位圆上,
∴由已知得cos α=45,∴原式=54.
19.解:(1)∵f(x)=sin2x+π6+sin2x-π6+2cos2x=sin 2x•cosπ6+cos 2xsinπ6+sin 2x•cosπ6-cos 2x•sinπ6+cos 2x+1=3sin 2x+cos 2x+1
=2sin2x+π6+1,
∴f(x)min=2×(-1)+1=-1,
最小正周期T=2π|ω|=2π2=π.
(2)∵f(x)=3,∴2sin2x+π6+1=3,
∴sin2x+π6=1,
∴2x+π6=2kπ+π2,k∈Z,
∴x=kπ+π6,k∈Z,
∴使f(x)=3的x的取值集合为x|x=kπ+π6,k∈Z
20.
 
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,整理得x+2y=0.
∴y=-12x.
 
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
由(1)知x=-2y,将其代入上式,
整理得y2-2y-3=0.
解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x=-6,
 
21.解:(1)因为函数图像过点(0,1),
所以2sin φ=1,即sin φ=12.
因为0≤φ≤π2,所以φ=π6.
(2)由(1)得y=2sinπx+π6,
∴当-π2+2kπ≤πx+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
即-23+2k≤x≤13+2k,k∈Z时,y=2sin(πx+π6)是增函数,故y=2sinπx+π6的单调递增区间为-23+2k,13+2k,k∈Z.
(3)由y≥1,得sinπx+π6≥12,
∴π6+2kπ≤πx+π6≤5π6+2kπ,k∈Z,
即2k≤x≤23+2k,k∈Z,
∴y≥1时,x的集合为{x|2k≤x≤23+2k,k∈Z}.
22.解:(1)y=f(x)= =(1+cos 2x,1)•(1,3sin 2x+a)=3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin2x+π6+1+a.
(2)x∈0,π2,则2x+π6∈π6,7π6,
所以f(x)的最大值为3+a=4,解得a=1,
此时f(x)=2sin2x+π6+2,其图像可由y=2sin(x+π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍,再将所得图像向上平移2个单位得到.
(3)设M(x,y)为y=g(x)的图像上任一点,
由函数y=g(x)的图像和函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,得M(x,y)关于x=1的对称点M′(2-x,y)在y=f(x)的图像上,所以y=g(x)=f(2-x)=2sin[2(2-x)+π6]+1+a=2sin(-2x+4+π6)+1+a,g(1)=2sin(2+π6)+1+a,g(2)=2sinπ6+1+a=2sin5π6+1+a.
∵π2<2+π6<5π6<π,
∴g(1)>g(2).
 
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